题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F。现将△ACD沿CD折起， 折成二面角A—CD—B，连接AF。

（I）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（II）当AC⊥BD时，求二面角A—CD—B大小的余弦值

答案

（I）证明略
（II）

解析

（I）证明：在，

又E是CD的中点，得AF⊥CD。   …………3分
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE平面AED，EF平面AEF，
故CD⊥平面AEF，   …………6分
又CD平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD。  …………7分
（II）方法一：
解：过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线上。

∵CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，
∴AH⊥平面CBD。…………8分
以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，
过E与AH平行的直线为z轴建立如图空间直角坐标系数。…………9分
由（I）可知∠AEF即为所求二面角的平面角，
设为，并设AC=a，可得

…………11分

得  …………13分
故二项角A—CD—B大小的余弦值为…………14分
方法二：
解：过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线，

∵CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，
∴AH⊥平面CBD。 …………9分
连接CH并延长交BD的延长线于G，
由已知AC⊥BD，得CH⊥BD，
即∠CGB=90°，
因此△CEH∽△CGD，
则

故 …………12分
又∵AE⊥CD，EF⊥CD，
∴∠AEF即为所求二面角的平面角，…………13分
故二项角A—CD—B大小的余弦值为…………14分