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题目
题型:不详难度:来源:
在直角三角形ABC中,斜边BC为10,以BC中点为圆心,作半径为3的圆,分别交BC于P、Q两点,设L=|AP|2+|AQ|2+|PQ|2,试问L是否为定值?如果是定值,求出定值,反之说明理由.
答案
根据题意,可得|OP|=|OQ|=3.
∵O为Rt△ABC的斜边中点,∴|OA|=
1
2
|BC|=5,
在△AOP中,根据余弦定理,
可得|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|•|OP|cos∠AOP…①.
同理在△AOQ中,|AQ|2=|OA|2+|OQ|2-2|OA|•|OQ|cos∠AOQ…②.
∵∠AOP+∠AOQ=180°,可得cos∠AOP+cos∠AOQ=0
∴将①、②相加,可得|AP|2+|AQ|2=2(|OA|2+|OP|2)=2(25+9)=68
又∵|PQ|2=4|OP|2=36,
∴L=|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=68+36=104,即L为定值.
核心考点
试题【在直角三角形ABC中,斜边BC为10,以BC中点为圆心,作半径为3的圆,分别交BC于P、Q两点,设L=|AP|2+|AQ|2+|PQ|2,试问L是否为定值?如果】;主要考察你对余弦定理等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知△ABC的面积S=
1
4
(b2+c2-a2),其中a,b,c分别为角A,B,C所对的边,
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,求bc的最大值.
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△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,C=
π
6
,a=


3
,b=1,则边c等于(  )
A.2B.


3
C.1D.


3
-1
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海上有A,B两个小岛相距10


2
km,从A岛望C岛和B岛所成的视角为60°,从B岛望C岛和A岛所成的视角为75°,则B岛和C岛之间的距离BC=(  )km.
A.10B.10


3
C.20D.10


2
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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.己知csinA=


3
acosC.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c=


7
,且sinC+sin(B-A)=3sin2A,求△ABC的面积.
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设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c(1+cosA)=


3
a•sinC

(1)求角A的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为


3
,求△ABC的周长.
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