题目

题型：0113 期中题难度：来源：

已知函数f（x）=ax-lnx(a为常数)，
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）求函数f（x）在[1，+∞)上的最值；
（3）试证明对任意的n∈N*都有ln（1+）ⁿ＜1。

答案

解：（1）当a=1时，函数f（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），
∵，
令得x=1，
∵当，
∴函数f（x）在（0，1）上为减函数；
∵当，
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴当x=1时，函数f（x）有最小值，；
（2）∵，
若a≤0，则对任意的，
∴函数f（x）在上为减函数，
∴函数f（x）在上有最大值，没有最小值，；
若a＞0，令，
当0＜a＜1时，，
当，函数f（x）在上为减函数；
当，∴函数f（x）在上为增函数，
∴当时，函数f（x）有最小值，，
当a≥1时，，在[1，+∞)恒有，
∴函数f（x）在[1，+∞)上为增函数，
函数f（x）在[1，+∞)有最小值，；
综上得：当a≤0时，函数f（x）在[1，+∞)上有最大值，，没有最小值；
当0＜a＜1时，函数f（x）有最小值，，没有最大值；
当a≥1时，函数f（x）在[1，+∞)有最小值，，没有最大值。
（3）由（1）知函数f（x）=x-lnx在（0，+∞）上有最小值1，
即对任意的x∈（0，+∞）都有，
当且仅当x=1时“=”成立，
∵n∈N*，
∴，
∴，
∴对任意的n∈N*都有。