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题目
题型:河南省模拟题难度:来源:
设函数f(x)=xlnx(x>0).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=a+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(3)斜率为k的直线与曲线y=f"(x)交于A()、B(x2,y2)(<x2)两点,求证:
答案
(1)解:f"(x)=lnx+1(x>0),
令f"(x)=0,得
∵当时,f"(x)<0;
时,f"(x)>0,
∴当时,
(2)F(x)=a+lnx+1(x>0),

①当a≥0时,恒有F"(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a<0时,令F"(x)>0,得2a+1>0,解得
令F"(x)<0,得2a+1<0,解得
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在上单调递增,在上单调递减.
(3)证:
要证,即证,等价于证
,则只要证
由t>1知lnt>0,故等价于证lnt<t﹣1<tlnt(t>1)(*).
①设g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1),则
故g(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴当t>1时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即t﹣1>lnt(t>1).
②设h(t)=tlnt﹣(t﹣1)(t≥1),则h"(t)=lnt≥0(t≥1),
故h(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴当t>1时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即t﹣1<tlnt(t>1).
由①②知(*)成立,得证.
核心考点
试题【设函数f(x)=xlnx(x>0).(1)求函数f(x)的最小值;(2)设F(x)=a+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;(3)斜率为k的直线与曲】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知
(I)求函数f(x)的最小值;
( II)当x>2a,证明:
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
已知函数
(I)求函数f(x)的单调区间和极值;
(II)若x>0,均有ax(2﹣lnx)≤1,求实数a的取值范围.
题型:河南省模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=alnx﹣bx2(x>0);
(1)若函数f(x)在x=1处与直线相切
①求实数a,b的值;
②求函数上的最大值.
(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的都成立,求实数m的取值范围.
题型:河南省模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=lnx﹣a﹣bx.
(1)当a=b=时,求f(x)的最大值;
(2)令F(x)=f(x)+a+bx+(0<x≤3),以其图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=0,b=﹣1时,方程2mf(x)=有唯一实数解,求正数m的值.
题型:黑龙江省模拟题难度:| 查看答案
函数的最大值为[     ]
A.e-2
B.e2     
C.e
D.e-1
题型:吉林省期中题难度:| 查看答案
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