某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），出厂价为x元（25≤x≤40）．根据市场调查知，日销售量q（单 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），出厂价为x元（25≤x≤40）．根据市场调查知，日销售量q（单位：个）与e^x成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．
（1）求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；
（2）若t=5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．

答案

（1）设日销售量q=

(k≠0)，则

e30

=100，∴k=100e³⁰（2分）
∴日销售量q=

100e30

，
∴y=

100e30(x-20-t)

(25≤x≤40)（6分）
（2）当t=5时，y=

100e30(x-20-t)

(25≤x≤40)
∴y′=

100e30(26-x)

(25≤x≤40)，（9分）
由y"＞0，得25≤x＜26，由y"＜0，得26＜x≤40，
∴函数在[25，26）上单调递增，在（26，40]上单调递减，
当x=26时，函数取得最大值，最大值为ymax=100e4．（12分）

核心考点

试题【某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），出厂价为x元（25≤x≤40）．根据市场调查知，日销售量q（单】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数f（x）=

lnx

的最大值为______．

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设函数f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），求g（x）的解析式；
（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．
（3）设G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x₁和x₂，且x₁，x₀x₂成等差数列，试探究值G′（x₀）的符号．

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把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是______．

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函数f（x）=2x²-6x+1在区间[-1，1]上的最小值是______，最大值是______．

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定义函数f_K（x）=

f(x)， f(x) ＞K

K， f(x) ≤ K

（K为给定常数），已知函数f（x）=

x2-3x2lnx，若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f_K（x）=K，则实数K的取值范围为______．

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