题目

题型：不详难度：来源：

用长度为定值l的铁丝围成一个底面边长是x，体积是V的正四棱柱形状的框架．
（Ⅰ）试将V表示成x的函数，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）当正四棱柱的底面边长和高之比是多少时，其体积最大？

答案

（Ⅰ）由长度为定值l的铁丝围成的底面边长为x，则正四棱柱的高为

l-8x

4

，根据体积公式得：
V=x²•

l-8x

4

=

l

4

x²-2x³，
又因为l-8x＞0且x＞0解得x的取值范围是（0，

1

8

）．
（Ⅱ）求出V′=

l

2

x-6x²=-6x（x-

l

12

），
在（0，

l

12

）上，V′＞0，函数单调递增；在（

l

12

，

l

8

）上，V′＜0，函数单调递减．
∴当x=

l

12

时，V取最大值．
此时，正四棱柱的高为

l

12

，于是当正四棱柱底面边长和高之比是1时，其体积最大．