题目
题型:不详难度:来源:
lnx |
x |
( I)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
( II)当a=1时,对任意x1,x2∈(0,e],求证:f(x1)>g(x2)+
17 |
27 |
( III)令h(x)=f(x)-g(x)•x,问是否存在实数a使得h(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
答案
∴f′(x)=1-
1 |
x |
x-1 |
x |
令f"(x)>0∴1<x<e令f"(x)<0∴0<x<1
∴f(x)的单调增区间为(1,e),减区间为(0,1)
( II)由( I)知f(x)在(0,e]的最小值为f(1)=1
又g′(x)=
1-lnx |
x2 |
∴g(x)在(0,e]单调递增,故g(x)在区间(0,e]上有最大值g(e)=
1 |
e |
要证对任意x1,x2∈(0,e],f(x1)>g(x2)+
17 |
27 |
即证f(x1)min>g(x2)max+
17 |
27 |
即证1>
1 |
e |
17 |
27 |
故命题成立
( III)h(x)=f(x)-g(x)•x=ax-2lnx,x∈(0,e]
∴h′(x)=a-
2 |
x |
ax-2 |
x |
(1)当a=0时,h"(x)<0,∴h(x)在(0,e]单调递减,
故h(x)的最小值为h(e)=-2,舍去
(2)当a>0时,由h"(x)<0,得0<x<
2 |
a |
①当0<a≤
2 |
e |
2 |
a |
∴h(x)在(0,e]单调递减,故h(x)的最小值为h(e)=ae-2=3,
∴a=
5 |
e |
2 |
e |
②当a>
2 |
e |
2 |
a |
∴h(x)在(0,
2 |
a |
2 |
a |
故h(x)的最小值为h(
2 |
a |
2 |
a |
e |
(3)当a<0时,h"(x)<0在(0,e]上成立,
∴h(x)在(0,e]单调递减,故h(x)的最小值为h(e)=ae-2=3∴a=
5 |
e |
2 |
e |
综合上述,满足要求的实数a=2
e |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax-lnx,g(x)=lnxx,它们的定义域都是(0,e],其中e≈2.718,a∈R( I)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;( II】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设g(x)=12f(x)-4x2-3x-3,h(x)=
m |
x |
1 |
2 |
(1)若f(x)在x∈[-
1 |
2 |
3 |
8 |
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设F(x)=
|
(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
(1)求a的值;
(2)求x∈[0,2]时,函数f(x)的最大值与最小值.
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