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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
x2+2x+a
x
,x∈[1,+∞).
(1)当a=
1
2
时,判断证明f(x)的单调性并求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>1恒成立,试求实数a的取值范围.
答案
(1)当a=
1
2
时,f(x)=x+
1
2x
+2,
在[1,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=(x1+
1
2x1
+2)-(x2+
1
2x2
+2)=(x1-x2(1-
1
2x1x2
)

∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,1-
1
2x1x2
>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)的最小值为f(1)=
7
2

(2)在区间[1,+∞)上,f(x)=
x2+2x+a
x
>1等价于x2+x+a>0,
而g(x)=x2+x+a=(x+
1
2
)2
+a-
1
4
在[1,+∞)上递增,
∴当x=1时,g(x)min=2+a,当且仅当2+a>0时,恒有f(x)>1,即实数a的取值范围为a>-2.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞).(1)当a=12时,判断证明f(x)的单调性并求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是(  )
A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<
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2
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已知定义在区间[-2,t](t>-2)上的函数f(x)=(x2-3x+3)ex
(Ⅰ)当t>1时,求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m=f(-2),n=f(t).试证明:m<n;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)+(x-2)ex,当x>1时试判断方程g(x)=x根的个数.
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已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)设a>0,若函数f(x)在区间(a,a+
1
2
)上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k2-k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.
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已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,(a、b实数).若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2,1,且1<a<2,求函数f(x)的解析式.
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若函数f(x)=3x-x3在区间(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是______.
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