题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1) |
x+1 |
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函数f(x)图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得点M处的切线l∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x0=
x1+x2 |
2 |
答案
2 |
x |
2(x2-1) |
x |
令f′(x)>0得x∈(1,e);f′(x)<0得x∈(0,1).
∴f′(x)在(0,1]上单减,在[1,e)上单增;
x∈[e,+∞)时,f(x)=x2+2(lnx-1),f′(x)=2x+
2 |
x |
∴f(x)在[e,+∞)单调递增.
故f(x)min=f(1)=3.
(2)由lnx≥
2(x-1) |
x+1 |
4 |
x+1 |
4 |
x+1 |
令g(x)=lnx+
4 |
x+1 |
则g′(x)=
1 |
x |
4 |
(x+1)2 |
(x-1)2 |
x(x+1)2 |
因为x≥1,显然g"(x)≥0,所以g(x)在[1,+∞)上递增,
显然有g(x)≥g(1)=2恒成立.(当且仅当x=1时等号成立),即证.
(3)当x≥e时,f(x)=x2+2(lnx-1),f′(x)=2x+
2 |
x |
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y=f(x)上的不同两点,且0<x1<x2,
则y1=x12+2(lnx1-1),y2=x22+2(lnx2-1).
故直线AB的斜率:kAB=
y1-y2 |
x1-x2 |
[x12+2(lnx1-1)]-[x22+2(lnx2-1)] |
x1-x2 |
lnx1-lnx2 |
x1-x2 |
曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率:
k=f′(x0)=f′(
x1+x2 |
2 |
4 |
x1+x2 |
依题意得:(x1+x2)+2•
lnx1-lnx2 |
x1-x2 |
4 |
x1+x2 |
化简可得:
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
2 |
x1+x2 |
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x2+x1 |
2(
| ||
|
设
x2 |
x1 |
2(t-1) |
t+1 |
4 |
t+1 |
所以在(1,+∞)内不存在t,使得lnt+
4 |
t+1 |
综上所述,假设不成立.所以,函数f(x)不存在“中值伴侣切线”.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+2|lnx-1|.(1)求函数y=f(x)的最小值;(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥2(x-1)x+1恒成立;(3)对于函数】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当x=2时f(x)取得极小值2-2ln2,求a,b的值;
(2)当b=-1时,若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
1 |
3 |
4 |
3 |
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)求函数f(x)在[-4,3]上的最大值和最小值.
1 |
3 |
A.、f(1),f(-1) | B.f(1),f(2) | C.f(-1),f(2) | D.f(2),f(-1) |
A.等于0 | B.小于0 | C.等于1 | D.不确定 |
最新试题
- 1下列四个图象分别表示四个过程,其中正确的是( )A.服用某种胃药[主要成分为Al(OH)3]治疗胃酸过多B.向硫酸和硫
- 2已知:点P是直线MN外一点,点A、B、C是直线MN上三点,分别连接PA、PB、PC.(1)通过测量的方法,比较PA、PB
- 3北京2008奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米,用科学记数法表示应为( )平方米.A.0.258×
- 4已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=8,对角线AC⊥AB,∠B=60°,M、N分别是边AB、DC的中点
- 5如图,在ABCD中,BC=7厘米,CD=5厘米,∠D=50°,BE平分∠ABC,下列结论中错误的是( )A.∠C=
- 6下列各组液体混合物,用分液漏斗不能分离的是( )A.溴乙烷和水B.氯乙烷和稀盐酸C.甲苯和水D.苯和溴苯
- 7—Would you please lend me your bike? —
- 8下图是叶肉细胞在不同光照强度下叶绿体与线粒体代谢简图。以下相关叙述错误的是[ ]A.若细胞①处于黑暗环境中,那么
- 9阅读理解。 Once upon a time, two young men were spending some
- 10She will stop showing off if no notice _____ of her.A.is tak
热门考点
- 1如图所示,物体m放在升降机中的斜面上,处于静止状态,当升降机开始竖直向上做匀加速直线运动时,( )A.斜面对物体的支持
- 2已知⊙O的半径为5cm,AB和CD是⊙O的弦,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求AB与CD之间的距离是多少?
- 3下列句子中成语使用最恰当的一项是[ ]A、李大妈终于找到了失散多年的女儿,一家人破镜重圆了。B、近半个世纪的时间
- 4We all agree that a pair of shoes _____________a nice presen
- 5毛泽东认为“中国的秘密在于农村”,下列史实能反映他发现这一秘密的是 [ ]A.八七会议 B.开创井冈山革命根
- 6老家在南京的应届大学毕业生小李,8月20日乘飞机到新疆支教,结合地理知识完成题。小题1:.经起飞到8000米高度的飞机,
- 7“十二五”期间,我国人民群众将更多地享受到社会改革发展的成果。人民群众“共享改革成果”是构建和谐社会的根本目的,从根本上
- 8若,则角的终边在A.第一、二象限B.第二、三象限C.第一、四象限D.第三、四象限
- 9(本小题满分8分)在直角坐标系中,已知点A(-2,0)、B(0,4)、C(0,3),过点C作直线交x轴于点D,使得以
- 10函数y=的自变量x的取值范围是[ ]A、x≥2B、x≤2C、x≥-2D、x≤-2