题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

已知函数有三个极值点。
（1）证明：-27＜c＜5；
（2）若存在实数c，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围。

答案

解：（1）因为函数有三个极值点，
所以有三个互异的实根
设，则
当x＜-3时，，g（x）在（-∞，-3）上为增函数，
当-3＜x＜1时，，g（x）在（-3，1）上为减函数，
当x＞1时，，g（x）在（1，+ ∞）上为增函数
所以函数g（x）在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值
当g（-3） ≤0或g（1） ≥0时，g（x）=0最多只有两个不同实根，
因为g（x）=0有三个不同实根，
所以g（-3）＞0，且g（1）＜0
即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0，
解得c＞-27，且c＜5
故-27＜c＜5。
（2）由（1）的证明可知，当-27＜c＜5时，f（x）有三个极值点
不妨设为x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），则
所以f（x）的单调递减区间是
若f（x）在区间[a，a+2]上单调递减
则，或
若，则
由（1）知，，于是
若，则，且
由（1）知，
又，当时，

当时，
因此，当时，
所以，且，即
故，或
反之，当或时，总可以找到
使f（x）在区间上单调递减
综上所述，a的取值范围是。