题目

题型：专项题难度：来源：

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)=x³-ax²+bx-c=0有三个实根x₁，x₂，x₃，
(Ⅰ)类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
(Ⅱ)若a，b，c均大于零，试证明：x₁，x₂，x₃都大于零；
(Ⅲ)若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f(x)在x=α，x=β处取得极值，且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)由已知，得x³-ax²+bx-c=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)，
比较两边系数，得a=x₁+x₂+x₃，b=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁，c=x₁x₂x₃；
(Ⅱ)证明：由c＞0，得x₁，x₂，x₃三数中或全为正数或一正二负，
若为一正二负，不妨设x₁＞0，x₂＜0，x₃＜0，
由x₁+x₂+x₃=a＞0，得x₁＞-(x₂+x₃)，
则x₁(x₂+x₃)＜-(x₂+x₃)²，
又b=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=x₁(x₂+x₃)+x₂x₃＜-(x₂+x₃)²+x₂x₃，
这与b＞0矛盾，所以x₁，x₂，x₃全为正数．
(Ⅲ)令f(x)=x³-ax²+bx-c，要f(x)=0有三个不等的实数根，则函数f(x)有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0，
由已知，得f′(x)=3x²-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴，
由①③，得b＞-3，
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1，将b=-1代入①③，得a=0，
∴f ′(x)=3x²-1，则，
且f(x)在处取得极大值，在处取得极小值，
故f(x)=0要有三个不等的实数根，则必须，得。