题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

已知函数，其中n∈N*，a为常数。
（1）当n=2时，求函数f（x）的极值；
（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x-1。

答案

解：（1）由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，
当n=2时，
所以f′（x）=
（i）当a＞0时，由f′（x）=0得
＞1，＜1
此时f′（x）=
当x∈（1，x₁）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x₁，+∞）时，f′（x）＞0， f（x）单调递增
（ii）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值
综上所述，n=2时，当a＞0时，f（x）在处取得极小值，极小值为
当a≤0时，f（x）无极值。
（2）因为a=1，所以
当n为偶数时，令
则g′（x）=1+＞0（x≥2）
所以当x∈[2，+∞]时，g（x）单调递增，
又g（2）=0
因此≥g（2）=0恒成立，
所以f（x）≤x-1成立；
当n为奇数时，
要证≤x-1，由于＜0，所以只需证ln（x-1） ≤x-1，
令h（x）=x-1-ln（x-1），
则h′（x）=1-≥0（x≥2），
所以，当x∈[2，+∞]时，单调递增，
又h（2）=1＞0，
所以当x≥2时，恒有h（x）＞0，
即ln（x-1）＜x-1命题成立
综上所述，结论成立。