题目

题型：月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x³﹣3ax﹣1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

答案

解析：（1）f′（x）=3x²﹣3a=3（x²﹣a），
当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）
当a＞0时，由f′（x）＞0解得 或 ；
由f′（x）＜0解得 ，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为 ；
f（x）的单调减区间为 ．
（2）因为f（x）在x=﹣1处取得极大值，
所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x³﹣3x﹣1，f′（x）=3x²﹣3，
由f′（x）=0解得x₁=﹣1，x₂=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=﹣3．
因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
又f（﹣3）=﹣19＜﹣3，f（3）=17＞1，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（﹣3，1）．