题目

题型：不详难度：来源：

已知函数 f（x）的导数．f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2．
（1） 若f（x）在区间_[-1，1]_上的最小值、最大值分别为-2、1，求a，b的值；
（2） 在（1）的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程．

答案

（1）由已知f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，
得f（x）=x³-

3

2

ax²+b，
由f′（x）=0即3x²-3ax=3x（x-a），解得x=0或x=a，
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1，
又f（1）=1-

3

2

a+1，f（-1）=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，∴f（-1）＜f（1）
由题意得最小值为f（-1）=-2，即-

3

2

a=-2，解得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1为所求；
（2）由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f′（x）=3x²-4x，
点P（2，1）在曲线f（x）上，
当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f′（x）_|x=2=4，
∴切线l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．