已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1. (1)求a,b的值; (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值. |
(1)由f(x)=x3+ax2+bx+5得,f′(x)=3x2+2ax+b, ∴y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为: y-f(1)=f′(1)(x-1), 即y-(a+b+6)=(3+2a+b)(x-1), 整理得y=(3+2a+b)x+3-a. 又∵y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1, ∴,解得, ∴a=2,b=-4. (2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5, f"(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2), 令f"(x)=0,得x=或x=-2. 当x变化时,f(x),f"(x)的变化如下表:
x | -3 | (-3,-2) | -2 | (-2,) | | (,1) | 1 | f"(x) | | + | | - | | + | | f(x) | 8 | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 | 4 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.(1)求a,b的值;(2)求y=f(x)在[-3,1】;主要考察你对 函数极值与最值等知识点的理解。 [详细]
举一反三
已知点P是曲线y=x3-10x+3上位于第二象限内的一点,且该曲线在点P处的切线斜率为2,则这条切线方程为______. | 曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是______. | 已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求f(2)的值. | 已知实数a满足1<a≤2,设函数f (x)=x3-x2+ax. (Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值; (Ⅱ) 若函数g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同,求证:g(x)的极大值小于等于10. | 已知函数f(x)=x2-与函数g(x)=alnx在点(1,0)处有公共的切线,设F(x)=f(x)-mg(x)(m≠0). (1)求a的值 (2)求F(x)在区间[1,e]上的最小值. |
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