题目

题型：不详难度：来源：

过曲线f（x）=-x³+3x的点A（2，-2）的切线方程______．

答案

∵f^′（x）=-3x²+3．
①若点A（2，-2）为切点时，则切线的斜率为f^′（2）=-3×2²+3=-9，∴切线的方程为y+2=-9（x-2），化为9x+y-16=0；
②若点A（2，-2）不为切点时，设切点为P（m，n），则切线为y-n=（-3m²+3）（x-m），又点A（2，-2）在切线上，代入得-2-n=（-3m²+3）（2-m），又n=-m³+3m．
联立化为（m+1）（m-2）²=0，∵m≠2，解得m=-1，则n=-2．
∴切线方程为y=-2．
综上可得：过曲线f（x）=-x³+3x的点A（2，-2）的切线方程为y=-2或9x+y-16=0．
故答案为y=-2或9x+y-16=0．