题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b的图象与直线x+y-2=0相切于点（0，c）．
求：
（1）实数a的值；
（2）函数f（x）的单调区间和极小值．

答案

（1）∵f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b，
∴f′(x)=

a

x+1

-

2

(x+1)2

∵f（x）在x=0处的切线方程为y=-x+2，
∴f"（0）=a-2=-1，即a=1
（2）∵点（0，c）在直线x+y-2=0上，
∴c-2=0，即c=2，
∵点（0，2）在f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b的图象上，
∴f（0）=b=2，
∴f(x)=ln(x+1)-

2x

x+1

+2(x＞-1)
由（1）得：f′(x)=

1

x+1

-

2

(x+1)2

=

x-1

(x+1)2

(x＞-1)
当f"（x）＞0时，得x＞1；当f"（x）＜0时，得-1＜x＜1，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有极小值f（1）=1+ln2．