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题目
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=
1
3
x3+ax2+bx+c(a<0)在x=0处取得极值-1.
(1)设点A(-a,f(-a)),求证:过点A的切线有且只有一条;并求出该切线方程.
(2)若过点(0,0)可作曲线y=f(x)的三条切线,求a的取值范围;
(3)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))(x1≠x2)处的切线都过点(0,0),证明:f′(x1)≠f′(x2).
答案
(1)证明:由f(x)=
1
3
x3+ax2+bx+c(a<0),得:f(x)=x2+2ax+b,
由题意可得f(0)=0,f(0)=-1,解得b=0,c=-1.
f(x)=
1
3
x3+ax2-1

经检验,f(x)在x=0处取得极大值.
设切点为(x0,y0),则切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0)
即为y=(x02+2ax0)x-
2
3
x03-ax02-1

把(-a,f(-a))代入方程可得x03+3ax02+3a2x0+a3=0
(x0+a)3=0,所以x0=-a.
即点A为切点,且切点是唯一的,故切线有且只有一条.
所以切线方程为a2x+y+
1
3
a3+1=0

(2)因为切线方程为y=(x02+2ax0)x-
2
3
x03-ax02-1

把(0,0)代入可得
2
3
x03+ax02+1=0

因为有三条切线,故方程得
2
3
x03+ax02+1=0
有三个不同的实根.
g(x)=
2
3
x3+ax2+1
(a<0)
g(x)=2x+2ax,令g(x)=2x+2ax=0,可得x=0和x=-a.
当x∈(-∞,0)时,g(x)>0,g(x)为增函数,
当x∈(0,-a)时,g(x)<0,g(x)为减函数,
当x∈(-a,+∞)时,g(x)>0,g(x)为增函数,
所以,当x=0时函数g(x)取得极大值为g(0)=1>0.
当x=-a时函数g(x)取得极小值,
极小值为g(-a)=
2
3
×(-a)3+a•(-a)2+1=
1
3
a3+1

因为方程有三个根,故极小值小于零,
1
3
a3+1<0
,所以a<-
33


(3)证明:假设f(x1)=f(x2),则x12+2ax1=x22+2ax2
所以(x1-x2)(x1+x2)=-2a(x1-x2
因为x1≠x2,所以x1+x2=-2a.
由(2)可得





2
3
x13+ax12+1=0
2
3
x23+ax22+1=0
,两式相减可得
2
3
(x23-x13)+a(x22-x12)=0

因为x1≠x2,故
2
3
(x22+x1x2+x12)+a(x1+x2)=0

把x1+x2=-2a代入上式可得,x22+x1x2+x12=3a2
所以(x1+x2)2-x1x2=3a2(-2a)2-x1x2=3a2
所以x1x2=a2
又由x1x2<(
x1+x2
2
)2=(
-2a
2
)2=a2
,这与x1x2=a2矛盾.
所以假设不成立,即证得f(x1)≠f(x2)
核心考点
试题【设函数f(x)=13x3+ax2+bx+c(a<0)在x=0处取得极值-1.(1)设点A(-a,f(-a)),求证:过点A的切线有且只有一条;并求出该切线方程.】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切,且与定圆x2+(y-1)2=1内切,记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设斜率为2


2
的直线与曲线E相切,求此时直线到原点的距离.
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已知函数f(x)=
2
3
x3-
1
2
x2-x+1
,x∈R
(1)求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)已知x∈R,求函数f(sinx)的最大值和最小值.
(3)若函数g(x)=f(x)+a的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=lnx+
a-x
x
,其中a为常数,且a>0.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=
1
2
x+1
垂直,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为
1
2
,求a的值.
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点M(1,m)在函数f(x)=x3的图象上,则该函数在点M处的切线方程为______.
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已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)若k>0且函数f(x)在区间(k,k+
3
4
)上存在极值,求实数k的取值范围
(2)如果存在x∈[2,+∞),使得不等式f(x)≤
a
x+2
成立,求实数a的取值范围.
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