题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=lnx+

a-x

x

，其中a为常数，且a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为

1

2

，求a的值．

答案

f′（x）=

1

x

+

-x-(a-x)

x2

=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）（4分）
（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x+1垂直，
所以f"（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（2）当0＜a≤1时，f"（x）＞0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）_min=f（1）=a-1．
∴a-1=

1

2

，a=

3

2

，不合（8分）
当1＜a＜2时，由f"（x）=0得，x=a∈（1，2）
∵对于x∈（1，a）有f"（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，2）有f"（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（a）=lna．
∴lna=

1

2

，a=

e

，（11分）
当a≥2时，f"（x）＜0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为减函数，∴f（x）min=f（2）=ln2+

a

2

-1，
∴ln2+

a

2

-1=

1

2

，a=3-2ln2，不合．
综上，a的值为

e

．（13分）