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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=lnx+
a-x
x
,其中a为常数,且a>0.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=
1
2
x+1
垂直,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为
1
2
,求a的值.
答案
f′(x)=
1
x
+
-x-(a-x)
x2
=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
(x>0)(4分)
(1)因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=
1
2
x+1
垂直,
所以f"(1)=-2,即1-a=-2,解得a=3.(6分)
(2)当0<a≤1时,f"(x)>0在(1,2)上恒成立,
这时f(x)在[1,2]上为增函数∴f(x)min=f(1)=a-1.
∴a-1=
1
2
,a=
3
2
,不合(8分)
当1<a<2时,由f"(x)=0得,x=a∈(1,2)
∵对于x∈(1,a)有f"(x)<0,f(x)在[1,a]上为减函数,
对于x∈(a,2)有f"(x)>0,f(x)在[a,2]上为增函数,
∴f(x)min=f(a)=lna.
∴lna=
1
2
,a=


e
,(11分)
当a≥2时,f"(x)<0在(1,2)上恒成立,
这时f(x)在[1,2]上为减函数,∴f(x)min=f(2)=ln2+
a
2
-1,
∴ln2+
a
2
-1=
1
2
,a=3-2ln2,不合.
综上,a的值为


e
.(13分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx+a-xx,其中a为常数,且a>0.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=12x+1垂直,求a的值;(2)若函数】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
点M(1,m)在函数f(x)=x3的图象上,则该函数在点M处的切线方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)若k>0且函数f(x)在区间(k,k+
3
4
)上存在极值,求实数k的取值范围
(2)如果存在x∈[2,+∞),使得不等式f(x)≤
a
x+2
成立,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知f(x)=x3+ax2-a2x+2.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;
(Ⅱ)若a≠0 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若不等式2xlnx≤f′(x)+a2+1恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
.经过原点(0,0)做函数f(x)=x3+3x2的切线,则切线方程为______.
题型:辽宁一模难度:| 查看答案
已知f(x)=x3+ax2-2x是奇函数,则其图象在点(1,f(1))处的切线方程为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
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