题目
题型:不详难度:来源:
lnx |
x |
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;
(2)在(1)的条件下,求证:f(x)>g(x)+
1 |
2 |
(3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为3.若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
答案
1 |
x |
x-1 |
x |
∵x∈(0,e],
由f′(x)=
x-1 |
x |
∴增区间(1,e).
由f′(x)=
x-1 |
x |
∴减区间(0,1).
故减区间(0,1);增区间(1,e).
所以,f(x)极小值=f(1)=1.
(2)由(1)知f(x)=x-lnx在(0,e]上的最小值为f(1)=1,
∵g(x)=
lnx |
x |
∴g′(x)=
1-lnx |
x2 |
由g′(x)=
1-lnx |
x2 |
解得0<x≤e,
∴g(x)在 (0,e]上为增函数,
∴g(x)max=g(e)=
1 |
e |
∵1>
1 |
2 |
1 |
e |
∴f(x)>g(x)+
1 |
2 |
(3)f′(x)=a-
1 |
x |
ax-1 |
x |
①当a≤0时,f(x)在(0,e)上是减函数,
∴ae-1=3,a=
4 |
e |
②当0<a<
1 |
e |
1 |
e |
∴ae-1=3,a=
4 |
e |
1 |
e |
③当a≥
1 |
e |
1 |
a |
1 |
a |
∴a
1 |
a |
1 |
a |
所以存在a=e2.
核心考点
试题【已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=lnxx,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
①数列{(-1)n•
3 |
②数列{(-1)n•
2 |
n |
③数列{
3 |
| ||
2 |
3 |
④数列{
2n | ||
(
|
A.①② | B.①②③ | C.②③④ | D.①②③④ |
1 |
2 |
(I)用a表示b,并求b的最大值;
(II)求证:f(x)≥g(x)(x>0).
1+lnx |
x |
(1)求函数f(x)的极值;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k |
x+1 |
(3)求证[(n+1)!]2>(n+1)en-2 (n∈N*).
4 |
5 |
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