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题目
题型:昆明模拟难度:来源:
若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知f(x)=x2,g(x)=2elnx.
(I)求F(x)=f(x)-g(x)的极值;
(II)函数f(x)和g(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线的方程,若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵F(x)=f(x)-g(x)=x2-2clnx(x>0),
∴F′(x)=2x-
2c
x
=(2x2-2c)/x=
2(x-


e
)(x+


e
x

令F′(X)=0,得x=


e

当0<x<


e
时,F′(X)<0,X>


e
时,F′(x)>0
故当x=


e
时,F(x)取到最小值,最小值是0
(2)由(1)可知,函数f(x)和g(x)的图象在x=


e
处有公共点,因此存在f(x)和g(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k.则隔离直线方程为y-e=k(x-


e
,即y=kx-k


e
+e
由f(x)≥kx-k


e
+e(x⊂R),可得x2-kx-k


e
+e,
由f(x)≥kx-k


e
+e(x⊂R),可得x2-kx+k


e
-e≥0当x⊂R恒成立,
则△=k2-4k


e
+4e=(k-2


c
2≤0,只有k=2


e
,此时直线方程为:y=2


e
x-e,
下面证明g(x)≤2


e
x-eexx>0时恒成立
令G(x)=2


e
x-e-g(x)=2


e
x-e-2elnx,
G′(X)=2


c
-
2c
x
=(2


c
x-2c)/x=2


c
(x-


e
)/x,
当x=


e
时,G′(X)=0,当0<x<


e
时G′(X)>0,
则当x=


e
时,G(x)取到最小值,极小值是0,也是最小值.
所以G(x)=2


e
x-e-g(x)≥0,则g(x)≤2


e
x-e当x>0时恒成立.
∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2


e
x-e
核心考点
试题【若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=
ax
x2+b
,在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)m满足什么条件时,区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间?
(Ⅲ)设直线l为曲线f(x)=
ax
x2+b
的切线,求直线l的斜率的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=-
1
3
(2e1-x+ex-1+3x2-8x+8 ),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
曲线y=e-x+1在x=0处的切线方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线f(x)=
1
2
x2-3
上一点P(1,-
5
2
)
,则过点P的切线的斜率为(  )
A.1B.-1C.2D.-2
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线y=
x2
4
的一条切线的斜率为
1
2
,则切点的横坐标为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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