设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=274x2（1-x）．（Ⅰ）已知n∈N+，当x∈[n，n+1]时，求 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=

x²（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤

；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．

答案

（Ⅰ）由f（x）=2f（x+1）⇒f（x）=

f（x-1），x∈[n，n+1]，则（x-n）∈[0，1]
⇒f（x-n）=

（x-n）²（1+n-x）．
f（x）=

f（x-1）=

f（x-2）=…=

f（x-n）=

2n+2

（x-n）²（1+n-x）．（n=0也适用）．…（4分）
（Ⅱ）f"（x）=-

2n+2

(x-n)(x-

3n+2

)，由f"（x）=0得x=n或x=n+

核心考点

试题【设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=274x2（1-x）．（Ⅰ）已知n∈N+，当x∈[n，n+1]时，求】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

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热门考点

（n，n+

）

（n+

，n+1）

n+1

f"（x）

↗

极大

↘

设曲线f（x）=2ax³-a在点（1，a）处的切线与直线2x-y+1=0平行，则实数a的值为______．

已知曲线y=x² （x＞0）在点P处切线恰好与圆C：x²+（y+1）²=1相切，则点P的坐标为______．

求下列极限：
（1）

lim

n→∞

+n+7

5n2+7

；
（2）

lim

n→∞

（

n2+n

-n）；
（3）

lim

n→∞

（

+…+

）．

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，11）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间
（Ⅲ）求函数在[-2，2]上的最值．

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，
存在相应的x₀∈D使得当x∈D且x＞x₀时，总有

0＜f(x)-h(x)＜m

0＜h(x)-g(x)＜m

，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进性”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：
①f（x）=x²，g（x）=

②f（x）=10^-x+2，g（x）=

2x-3

③f（x）=

x2+1

，g（x）=

xlnx+1

lnx

④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（　　）

A．①④

B．②③

C．②④

D．③④