题目

题型：福建难度：来源：

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，
存在相应的x₀∈D使得当x∈D且x＞x₀时，总有

0＜f(x)-h(x)＜m 0＜h(x)-g(x)＜m

，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进性”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：
①f（x）=x²，g（x）=

x

②f（x）=10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（　　）

A．①④

B．②③

C．②④

D．③④

答案

f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0．
对于①f（x）=x²，g（x）=

x

，当x＞1时便不符合，所以①不存在；
对于②f（x）=10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）-g（x）→0；
对于③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

，f(x)-g(x)=

1

x

-

1

lnx

，
设λ（x）=x-lnx，λn(x)=

1

x2

＞0，且lnx＜x，
所以当x→∞时x-lnx越来愈大，从而f（x）-g（x）会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x），当x→0时，f(x)-g(x)=

-2

1+ 1 x

+2+

2

ex

→0，
因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C
故选C