题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函数fn（x）=

1

3

x³-

1

2

（3a_n+n²）x²+3n²a_nx极小值点．当a=0时，求通项a_n．

答案

由题意可知，当a=0时，a₁=0，则3a₁＜1²．
由题设知f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．
令f′_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
若3a_n＜n²，则
当x＜3a_n时，f′_n（x）＞0，f_n（x）单调递增；
当3a_n＜x＜n²时，f′_n（x）＜0，f_n（x）单调递减；
当x＞n²时，f′_n（x）＞0，f_n（x）单调递增．
故f_n（x）在x=n²取得极小值．
所以a₂=1²=1
因为3a₂=3＜2²，则，a₃=2²=4
因为3a₃=12＞3³，则a₄=3a₃=3×4，
又因为3a₄=36＞4²，则a₅=3a₄=3²×4，
由此猜测：当n≥3时，a_n=4×3^n-3．
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3a_n＞n²．
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3a_k＞k²成立，则由（2）知，a_k+1=3a_k＞k²，
从而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0，
所以3a_k+1＞（k+1）²．
故当n≥3时，3a_n＞n²成立．
于是，当n≥3时，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3．
综上所述，当a=0时，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（n≥3）．