题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=x-x²+alnx，此曲线在P（1，0）处的切线斜率为2．
（1）求a的值．    
（2）试证明f（x）≤2x-2．

答案

（1）f′（x）=1-2x+

a

x

，
由曲线在点P处的切线斜率为2，得f′（1）=2，即1-2+a=2，解得a=3，
故所求a值为3．
（2）令g（x）=f（x）-（2x-2）（x＞0），
则g（x）=x-x²+3lnx-2x+2=-x²-x+3lnx+2，
g′（x）=-2x-1+

3

x

=

-2x2-x+3

x

=

-(2x+3)(x-1)

x

，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
所以当x=1时g（x）取得极大值，也为最大值，g（1）=0，
所以g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-2，从而得证．