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题目
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设函数f(x)=x-x2+alnx,此曲线在P(1,0)处的切线斜率为2.
(1)求a的值.    
(2)试证明f(x)≤2x-2.
答案
(1)f′(x)=1-2x+
a
x

由曲线在点P处的切线斜率为2,得f′(1)=2,即1-2+a=2,解得a=3,
故所求a值为3.
(2)令g(x)=f(x)-(2x-2)(x>0),
则g(x)=x-x2+3lnx-2x+2=-x2-x+3lnx+2,
g′(x)=-2x-1+
3
x
=
-2x2-x+3
x
=
-(2x+3)(x-1)
x

当0<x<1时,g′(x)>0,g(x)递增,当x>1时,g′(x)<0,g(x)递减,
所以当x=1时g(x)取得极大值,也为最大值,g(1)=0,
所以g(x)≤g(1)=0,即f(x)≤2x-2,从而得证.
核心考点
试题【设函数f(x)=x-x2+alnx,此曲线在P(1,0)处的切线斜率为2.(1)求a的值.    (2)试证明f(x)≤2x-2.】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
曲线y=x3+x-10上某点切线与直线4x-y+3=0平行,求切点坐标与切线方程.
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过曲线y=
1
4
x4上一点,倾斜角为
π
4
的切线方程为(  )
A.4x-4y+3=0B.4x-4y+5=0C.4x-4y-3=0D.4x-4y-5=0
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曲线y=
1
2x
和y=ax2在它们的交点处的两条切线互相垂直,则实数a的值是(  )
A.
1
42

B.-
1
42

C.±
1
42

D.不存在
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已知函数f(x)=x+xlnx.
(1)求函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程;
(2)若k∈Z,且k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立,求k的最大值.
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已知y=x3-1与y=3-
1
2
x2
在x=x0处的切线互相垂直,则x0=(  )
A.


3
3
B.
3


3
3
C.


3
D.
39

3
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