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题目
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设函数f (x)=x3-3x(x∈R),若关于x的方程f (x)=a有3个不同的实根,则实数a的取值范围是______.
答案
令g(x)=f(x)-a=x3-3x-a
对函数求导,g′(x)=3x2-3=0,x=-1,1.
x<-1时,g(x)单调增,-1<x<1时,单减,x>1时,单增,
要有三个不等实根,则g(-1)=-1+3-a>0且g(1)=1-3-a<0.
解得-2<a<2
故答案为:(-2,2).
核心考点
试题【设函数f (x)=x3-3x(x∈R),若关于x的方程f (x)=a有3个不同的实根,则实数a的取值范围是______.】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若存在实数k,使得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
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已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).
(Ⅰ) 写出函数y=f(x)的图象恒过的定点坐标;
(Ⅱ)直线L为函数y=φ(x)的图象上任意一点P(x0,y0)处的切线(P为切点),如果函数y=φ(x)图象上所有的点(点P除外)总在直线L的同侧,则称函数y=φ(x)为“单侧函数”.
(i)当a=
1
2
判断函数y=f(x)是否为“单侧函数”,若是,请加以证明,若不是,请说明理由.
(i i)求证:当x∈(-2,+∞)时,ex+
1
2
x≥ln(
1
2
x+1)+1.
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曲线y=5


x
在点P(1,5)的切线的方程是 ______.
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lim
n→∞
(
4
1-a
+
4a
1-a
+
4a2
1-a
+…+
4an-1
1-a
)=9
,则实数a等于(  )
A.
5
3
B.
1
3
C.-
5
3
D.-
1
3
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lim
x→-2
x+2
x2-4
等于______.
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