已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数. (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若存在实数k,使得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求k的取值范围. |
(Ⅰ)由f(x)=ex(x2+ax-a)可得, f′(x)=ex[x2+(a+2)x)],.…(2分) 当a=1时,f(1)=e,f′(1)=4e.…(4分) 所以 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1), 即y=4ex-3e.…(5分) (Ⅱ) 令f′(x)=ex[x2+(a+2)x)]=0, 解得x=-(a+2)或x=0.…(6分) 当-(a+2)≤0,即a≥-2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)≥0,所以f(x)是[0,+∞)上的增函数. 所以方程f(x)=k在[0,+∞)上不可能有两个不相等的实数根.…(8分) 当-(a+2)>0,即a<-2时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表
x | 0 | (0,-(a+2)) | -(a+2) | (-(a+2),+∞) | f′(x) | 0 | - | 0 | + | f(x) | -a | ↘ | | ↗ |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若存在实数k,使得关于x的方】;主要考察你对 函数极值与最值等知识点的理解。 [详细]
举一反三
已知函数f(x)=ex-ax(a∈R). (Ⅰ) 写出函数y=f(x)的图象恒过的定点坐标; (Ⅱ)直线L为函数y=φ(x)的图象上任意一点P(x0,y0)处的切线(P为切点),如果函数y=φ(x)图象上所有的点(点P除外)总在直线L的同侧,则称函数y=φ(x)为“单侧函数”. (i)当a=判断函数y=f(x)是否为“单侧函数”,若是,请加以证明,若不是,请说明理由. (i i)求证:当x∈(-2,+∞)时,ex+x≥ln(x+1)+1. | 曲线y=5在点P(1,5)的切线的方程是 ______. | 当h无限趋近于0时,无限趋近于常数A,则常数A的值为______. |
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