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题目
题型:眉山一模难度:来源:
x1x2(x1x2)是函数f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2-(2b2+1)ax,(a>0)
的两个极值点.
(1)若x1=-2,x2=1,求a,b的值;
(2)若x1≤x≤x2,且x2=a,不等式6f(x)+11a2≥0恒成立,求实数b的取值范围;
(3)若x12+x22=6+4b2,且b>0,设an=
4a
f′(n)+2a(b2+1)
,Tn为数列an的前n项和,求证:Tn<4.
答案
(1)∵函数f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2-(2b2+1)ax,(a>0)

∴f"(x)=ax2+bx-(2b2+1)a(2分)
依题意x1=-2,x2=1是方程ax2+bx-(2b2+1)a=0的两根
-
b
a
=-1,-
(2b2+1)a
a
=-2

解之可得:a=b=


2
2
(4分)
(2)由(1)f"(x)=ax2+bx-(2b2+1)a>0得x>x1或x<x2
∴f(x)在(x1,x2)上单调递减
∴x1≤x≤x2时,f(x)≥f(x2)=f(a)(5分)
由题f"(a)=a3+ba-(2b2+1)a=0即a2=2b2-b+1(6分)
若x1≤x≤x2,且x2=a,不等式6f(x)+11a2≥0恒成立⇔6f(a)+11a2≥0(7分)
⇔2a4+3ba2-6(2b2+1)a2+11a2≥0⇔2a2+3b-12b2+5≥0⇔2(2b2-b+1)+3b-12b2+5≥0⇔8b2-b-7≤0⇔-
7
8
≤b≤1

故实数b的取值范围为[-
7
8
,1]
(9分)
(3)依题意x1,x2是方程ax2+bx-(2b2+1)a=0的两根,则x1+x2=-
b
a
x1x2=-
(2b2+1)a
a

而x12+x22=(x1+x22-2x1x2
(-
b
a
)2+2
(2b2+1)a
a
=6+4b2
∴b2=4a2(10分)
又a>0,b>0,
∴b=2a而f"(n)=an2+bn-(2b2+1)a=an2+2an-(8a3+a)
an=
4a
f′(n)+2a(b2+1)
=
4a
an2+2an-(8a3+a)+8a3+2a
=
4
n2+2n+1
(11分)
Tn=
4
22
+
4
32
+
4
42
++
4
(n-1)2
+
4
n2
+
4
(n+1)2
<4[
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
++
1
(n-2)(n-1)
+
1
(n-1)n
+
1
n(n+1)
]
=4[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)++(
1
n-2
-
1
n-1
)+(
1
n-1
-
1
n
)+(
1
n
-
1
n+1
)]
=4(1-
1
n+1
)<4(14分)
核心考点
试题【设x1,x2(x1<x2)是函数f(x)=a3x3+b2x2-(2b2+1)ax,(a>0)的两个极值点.(1)若x1=-2,x2=1,求a,b的值;(2)若x】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
曲线f(x)=x3-2在P0点处的切线平行于直线y=3x-1,则P0点的坐标为(  )
A.(1,0)B.(2,8)
C.(1,-1)和(-1,-3)D.(2,8)和(-1,-4)
题型:不详难度:| 查看答案
计算
lim
n→∞
(1-
3n
n+3
)
=______.
题型:上海难度:| 查看答案
在曲线y=-x3+3x-1的所有切线中,斜率为正整数的切线的条数是(  )
A.1条B.3条C.5条D.6条
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
lim
x→1
x+x2+…+xn-n
x-1
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-ax2-x+2.(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若对∀x∈R,有f′(x)≥|x|-
4
3
成立,求实数a的取值范围.
题型:揭阳一模难度:| 查看答案
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