当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数极值与最值 > 已知x=0是函数f(x)=(x2+bx)ex的一个极值点.(1)求f(x);(2)若不等式f(x)>ax3在[,2]内有解,求实数a的取值范围;(3)函数y=f...
题目
题型:不详难度:来源:
已知x=0是函数f(x)=(x2+bx)ex的一个极值点.
(1)求f(x);
(2)若不等式f(x)>ax3在[,2]内有解,求实数a的取值范围;
(3)函数y=f(x)在x=an(an>0,n∈N*)处的切线与x轴的交点为(an-an+1,0).若a1=1,bn=
1
an
+2,问是否存在等差数列{cn},使得b1c1+b2c2+…+bncn=2n+1(2n-1)+n2+2n+2对n∈N*都成立?若存在求出{cn}的通项公式,若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵f′(x)=[x2+(6+2)x+b]ex
又x=0是函数f(x)=(x2+bx)ex的一个极值点,
∴f′(x)=0,得b=0,故f(x)=x2ex(2分)
(2)∵不等式f(x)>ax3在[,2]内有解,即x2ex>ax3在[,2]内有解,
∴a<
ex
x
在[,2]内有解,令g(x)=
ex
x
,x∈[
1
2
,2],
则只要a<(g(x))max.(3分)
∵g′(x)=
xex-e2
x2
=
ex(x-1)
x2

∴g(1)=e是该函数的最小值;
∵g(
1
2
)=2


e
,g(2)=
1
2
ex
,g(2)>g(
1
2
),
∴a的取值范围为(-∞,
1
2
e2
)(5分)
(3)∵f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex
∴函数y=f(x)在x=an处的切线方程为y-
a2n
ean=(
a2n
+2an)ean(x-an)

∵切线与x轴的交点为(an-an+1,0),
0-
a2n
ean=(
a2n
+2an)ean[(an-an+1)-an]

化简得an=anan+1+2an+1.(7分)
∵a1=1,bn=
1
an
+2
,∴b1=3,
1
an
=bn-2
∴bn+1-2=1+2bn,整理得bn+1=2bn-1,
即bn+1-1=2(bn-1),∴{bn-1}是公比为2,首项为2的等比数列,
∴bn-1=(b1-1)2n-1,即bn=2n+1.(9分)
假设存在等差数列{cn}对n∈N*都有b1c1+b2c2++bncn=2n+1(2n-1)+n2+2n+2①
当n≥2时有b1c1+b2c2++bn-1cn-1=2n(2n-3)+n2+1②
①-②得bncn=2n(2n+1)+2n+1,即(2n+1)cn=2n(2n+1)+2n+1,
∴当n≥时有,cn=2n+1,
当n=1时,b1c1=9,而b1=3,∴c1=3也适合cn=2n+1.
故{cn}是首项为1,公差为2的等差数列.
即存在等差数列{cn}对n∈N*都有
b1c1+b2c2+…+bncn=2n+1(2n-1)+n2+2n+2.(13分)
核心考点
试题【已知x=0是函数f(x)=(x2+bx)ex的一个极值点.(1)求f(x);(2)若不等式f(x)>ax3在[,2]内有解,求实数a的取值范围;(3)函数y=f】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)在R上满足f(x)=3f(6-x)-x2+5x-2,则曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是(  )
A.x-4y-11=0B.x-2y-7=0C.x+4y+5=0D.x+2y-1=0
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线y=
1
x
与y=x2
交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则△ABP的面积为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
a
x
+lnx(a∈R)
,当x=1时,函数y=f(x)取得极小值.
(1)求a的值;
(2)证明:若x∈(0,
1
2
)
,则f(x)>
3
2
-x
题型:不详难度:| 查看答案
计算:
lim
n→∞
2n2-n+1
1+3+…+(2n-1)
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
无穷等比数列1,


2
2
1
2


2
4
,…各项的和等于(  )
A.2-


2
B.2+


2
C.


2
+1
D.


2
-1
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.