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题目
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=ax+
1
x+b
(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x三角形的面积为定值,并求出此定值.
答案
(1)f′(x)=a-
1
(x+b)2

于是





2a+
1
2+b
=3
a-
1
(a+b)2
=0
解得





a=1
b=-1





a=
9
4
b=-
8
3
因a,b∈Z,故f(x)=x+
1
x-1


(2)证明:在曲线上任取一点(x0,x0+
1
x0-1
).
由f′(x0)=1-
1
(x0-1)2
知,过此点的切线方程为y-
x20
-x0+1
x0-1
=[1-
1
(x0-1)2
](x-x0).
令x=1得y=
x0+1
x0-1
,切线与直线x=1交点为(1,
x0+1
x0-1
).
令y=x得y=2x0-1,切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
从而所围三角形的面积为
1
2
|
x0+1
x0-1
-1|•|2x0-1-1|=
1
2
|
2
x0-1
||2x0-2|=2.
所以,所围三角形的面积为定值2.
核心考点
试题【设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),T(x0,f(x0))在函数f(x)=x3-ax(a>0)的图象上,其中x1,x2是f(x)的两个极值点,x0(x0≠0)是f(x)的一个零点,若函数f(x)的图象在T处的切线与直线AB垂直,则a=______.
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设函数f(x)=x3+ax2-12x的导函数为f′(x),若f′(x)的图象关于y轴对称.
(I)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
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若曲线y=ex在x=1处的切线与直线2x+my+1=0垂直,则m=(  )
A.-2eB.2eC.-
2
e
D.
2
e
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设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0)其中,f(0)=3,f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若c=-6,函数f(x)的两个极值点为x1,x2满足-1<x1<1<x2<2.设λ=a2+b2-6a+2b+10,试求实数λ的取值范围.
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函数f(x)的导函数图象如图所示,则函数f(x)的极小值点个数有(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个

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