题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f(x)=x³-ax²+3x+1，
(Ⅰ)设a=2，求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)设f(x)在区间(2，3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．

答案

解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=x³-6x²+3x+1，
，
当时，f′(x)＞0，f(x)在上单调增加；
当时，f′(x)＜0，f(x)在上单调减少；
当时，f′(x)＞0，f(x)在上单调增加；
综上，f(x)的单调增区间是和，f(x)的单调减区间是。
(Ⅱ)f′(x)=3[（x-a）²+1-a²]，
当1-a²≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；
当1-a²＜0时，f"′(x)=0有两个根，，
由题意，，①
或，②，
①式无解，②式的解为。
因此a的取值范围是。