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题目
题型:高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=x4-3x2+6,
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.
答案

解:(Ⅰ)
当x∈和x∈时,f′(x)<0;
当x∈和x∈时,f′(x)>0;
因此,f(x)在区间是减函数,
f(x)在区间是增函数。
(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,f(x0)),
由l过原点知,l的方程为y=f′(x0)x,
因此,f(x0)=x0f′(x0),
即:x04-3x02+6-x0(4x03-6x0)=0,
整理得(x02+1)(x02-2)=0,解得
因此切线l的方程为

核心考点
试题【已知函数f(x)=x4-3x2+6,(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程. 】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f(x)。如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a)。
(I)设函数,其中b为实数。
(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(ii)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|< |g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围。
题型:江苏高考真题难度:| 查看答案
设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
题型:高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-x2+ax+b的图象在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2。
(I)求实数a,b的值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+是[2,+∞)上的增函数。
 (i)求实数m的最大值;
 (ii)当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。
题型:福建省高考真题难度:| 查看答案
设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的是

[     ]

A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)>x
D.f(x)<x

题型:天津高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1。
 (I)讨论函数f(x)的单调性;
 (Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|。
题型:辽宁省高考真题难度:| 查看答案
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