题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f(x)=x⁴-3x²+6，
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．

答案

解：(Ⅰ)，
当x∈和x∈时，f′(x)＜0；
当x∈和x∈时，f′(x)＞0；
因此，f(x)在区间和是减函数，
f(x)在区间和是增函数。
(Ⅱ)设点P的坐标为(x₀，f(x₀))，
由l过原点知，l的方程为y=f′(x₀)x，
因此，f(x₀)=x₀f′(x₀)，
即：x₀⁴-3x₀²+6-x₀（4x₀³-6x₀）=0，
整理得(x₀²+1)(x₀²-2)=0，解得或，
因此切线l的方程为或。