题目

题型：高考真题难度：来源：

设函数f(x)=x（e^x-1)-ax²，
(Ⅰ)若a=，求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)a=时，，
f′(x)=e^x-1+xe^x-x=(e^x-1)(x+1)，
当x∈（-∞，-1）时，f′(x)＞0；当x∈（-1，0）时，f′(x)＜0；当x∈(0，+∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(-∞，-1)，(0，+∞)上单调增加，在(-1，0)上单调减少．
(Ⅱ)f(x)=x(e^x-1-ax)，令g(x)=e^x-1-ax，
则g′(x)=e^x-a，
若a≤1，则当x∈(0，+∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
而g(0)=0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0；
若a＞1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
而g(0)=0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)＜0，即f(x)＜0．
综合得a的取值范围为（-∞，1]．