题目
题型:高考真题难度:来源:
(1)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数;
(2)证明:an<an+1<1;
(3)设b∈(a1,1),整数k≥
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答案
所以函数f(x)在区间(0,1)是增函数;
(2)当0<x<1时,f(x)=x-xlnx>x,
又由(1)及f(x)在x=1处连续知,
当0<x<1时,f(x)<f(1)=1,
因此,当0<x<1时,0<x<f(x)<1 ①
下面用数学归纳法证明:
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(i)由0<a1<1,a2=f(a1),应用式①得0<a1<a2<1,即当n=1时,不等式②成立;
(ii)假设n=k时,不等式②成立,即
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则由①可得
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即
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故当n=k+1时,不等式②也成立
综合(i)(ii)证得
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(3)由(2)知,{an}逐项递增,故若存在正整数m≤k,使得
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否则若am<b(m≤k),则由0<a1≤am<n<1(m≤k)知
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由③知
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于是
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核心考点
试题【设函数f(x)=x-xlnx,数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an)。(1)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数;(2)证明:an<an+1<】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)在(0,1]上的最大值为
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(1)当
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(2)求函数f(x)的极值点;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式ln(
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(1)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;
(2)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围。
(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:
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①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增。
则正确命题的序号是( )。
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