题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=。
（1）设a>0，讨论y=f（x）的单调性；
（2）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）>1，求a的取值范围。

答案

解：（1）f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
对f（x）求导数得
（i）当a=2时

f"（x）在（-∞，0），（0，1）和（1，+∞）上均大于0，
所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上为增函数；
（ii）当0＜a＜2时，f"（x）>0，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上为增函数；
（iii）当a>2时，
令f"（x）=0，解得

当x变化时，f"（x）和f（x）的变化情况如下表：

f（x）在内为增函数
f（x）在内为减函数。
（2）（i）当0＜a≤2时，由（1）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）>f（0）=1
（ii）当a>2时，取，则由（1）知f（x₀）＜f（0）=1
（iii）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有且e^-ax≥1
得
综上当且仅当a∈（-∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）>1。