题目
题型:高考真题难度:来源:
(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:。
答案
且f′(x)=0有两个不同的根x1、x2,
故2x2+2x+a=0的判别式△=4-8a>0,即,
且,
又x1>-1,故a>0,
因此a的取值范围是,
当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
因此f(x)在区间(-1,x1)和(x2,+∞)内是增函数,在区间(x1,x2)是减函数。
(Ⅱ)证明:由题设和(Ⅰ)知,
于是,
设函数g(t)=t2-2t(1+t)ln(1+t),
则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t),
当时,g′(t)=0;当时,g′(t)>0;
故g(t)在区间内是增函数,
于是,当时,,
因此。
核心考点
试题【设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:。 】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增。
则正确命题的序号是( )。
(Ⅰ)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);
(Ⅱ)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值。
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若已知a>b,求函数f(x)在[b,a]上的最大值。
(1)若f(x)在x=1+处取得极值,试求c的值和f(x)的单调增区间;
(2)如下图所示,若函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在c∈(a,b)使得f′(c)=?[用含有a,b,f(a),f(b)的表达方式直接回答,不需要写猜想过程]
(3)利用(2)证明:函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4。
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