题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程x²+x+a=f（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）

由f"（x）>0，得-2 ＜x＜-1或x>0；
由f"（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0
所以f（x）的递增区间是（-2，-1），（0，+∞）；
递减区间是（-∞，-2），（-1，0）。
（2）由（1）知f（x）在上单调递减，在[0，e-1]上单调递增
又
且
所以当时，f（x）_max=e²-2
因为当时，不等式f（x）＜m恒成立，
所以m>f（x）_max，即m>e²-2，
故m的取值范围为（e²-2，+∞）。
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，则
由g"（x）>0，得x＜-1或x>1；
由g"（x）＜0，得-1＜x＜1
所以g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
只需g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有即
解得2-2ln2＜a≤3-2ln3
故实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]。