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题目
题型:福建省高考真题难度:来源:
已知f(x)=4x+ax2-x3(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=2x+x3的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案
解:(Ⅰ)f'(x)=4+2ax-2x2
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立, ①
设ψ(x)=x2-ax-2,

∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0,
∴A={a|-1≤a≤1};
(Ⅱ)由,得x=0或
∵△=a2+8>0,
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,
从而|x1-x2|==
∵-1≤a≤1,
∴|x1-x2|=≤3,
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立, ②
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0,m≥2或m≤-2,
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
其取值范围是{m|m≥2或m≤-2}。
核心考点
试题【已知f(x)=4x+ax2-x3(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=2x+x3的两个非零实根为】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于O,A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B,D,
(Ⅰ)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);
(Ⅱ)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值。
题型:湖南省高考真题难度:| 查看答案
已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围。
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若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围。
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已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2,
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
(2)证明对任意x1,x2∈(-1,1),不等式| f(x1)-f(x2)|<4恒成立。
题型:天津高考真题难度:| 查看答案
已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),
(Ⅰ)求导数f′(x);
(Ⅱ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
(Ⅲ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围。
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
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