题目

题型：0101 期中题难度：来源：

已知f（x）=ax-lnx，x∈(0，e]，，其中e是自然常数，a∈R，
（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

答案

解：（Ⅰ）∵，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
∴f（x）的极小值为f（1）=1；
（Ⅱ） f（x）的极小值为1，即f（x）在(0，e]上的最小值为1，
∴f（x）＞0，，
令，
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在(0，e]上单调递增，
∴，
∴在（Ⅰ）的条件下，；
（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx（x∈(0，e]）有最小值3，
，
①当a≤0时，f（x）在(0，e]上单调递减，
（舍去），
所以，此时f（x）无最小值；
②当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
，满足条件；
③当时，f（x）在(0，e]上单调递减，
（舍去），
所以，此时f（x）无最小值；
综上，存在实数，使得当x∈(0，e]时f（x）有最小值3。