题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

设函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e^-x的单调区间。

答案

解：(Ⅰ)因为，
所以f′(x)=2ax+b，
又因为曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），
故f(0)=2a+3，
而f(0)=c，
从而c=2a+3，
又曲线y=f(x)在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，
故f′(-1)=0，即-2a+b=0，
因此b=2a；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
故当时，bc取得最小值，
此时有，
从而，
，
所以，
令g′(x)=0，解得，
当x∈（-∞，-2）时，g′(x)＜0，故g(x)在x∈（-∞，-2）上为减函数；
当x∈（-2，2）时，g′(x)＞0，故g(x)在x∈（-2，2）上为增函数；
当x∈（2，+∞）时，g′(x)＜0，故g(x)在x∈（2，+∞）上为减函数；
由此可见，函数g(x)的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）。