题目

题型：安徽省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x²﹣alnx（aR）． （1）若a=2，求证：f（x）在（1，+）上是增函数；
（2）求f（x）在[1，+）上的最小值．

答案

证明：（1）当a=2时，f（x）=x²﹣2lnx，
当x（1，+）时，，
所以f（x）在（1，+）上是增函数；  
（2）解：，
当a0时，f"（x）＞0，f（x）在[1，+）上单调递增，最小值为f（1）=1．
当a＞0，时，f（x）单调递减；
当时，f（x）单调递增．
若，即0＜a2时，f（x）在[1，+）上单调递增，
又f（1）=1，
所以f（x）在[1，+）上的最小值为1．
若，即a＞2时，f（x）在上单调递减；在上单调递增．
又，
所以f（x）在[1，+）上的最小值为．
综上，当a2时，f（x）在[1，+）上的最小值为1；
当a＞2时，f（x）在[1，+）上的最小值为．