题目

题型：同步题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx﹣x+1（x∈[1，+∞）），数列{a_n}满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）；
（3）求证：．

答案

解：（1）∵ ，∴{a_n}是等比数列，
又a₁=e，∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=eⁿ．
（2）由（1）知，f（a_n）=lneⁿ﹣eⁿ+1=（n+1）﹣eⁿ，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=[2+3+…+（n+1）]﹣（e+e²+…+eⁿ） = ．（3）由函数f（x）=lnx﹣x+1，得 ，
又x≥1，∴f"（x）≤0，
∴f（x）递减，
∴f（x）≤f（1），即f（x）≤0，也就是lnx≤x﹣1，
于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n﹣1），
即 ，
故 ．