题目

题型：浙江省期中题难度：来源：

已知函数f（x）=e^x，g（x）=1+ax+ ，a∈R
（1）设函数F（x）=f（x）-g（x），讨论F（x）的极值点的个数；
（2）若-2≤a≤1，求证：对任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁<x₂时，都有

答案

解：（1 ），F"（x）=e^x-a-x，F""（x）=e^x-1，
令F""（x）=0，得x=0
当x∈（-∞，0）时，F""（x）<0，从而F"（x）在（- ∞，0）上单调递减，
当x∈（0，+ ∞）时， F""（x）>0，从而F"（x）在（0，+ ∞）上单调递增，
所以F"（x）_min=F"（x）=1-a，
当F"（x）_min=1-a≥0，即a≤1时，F"（x） ≥0恒成立，F（x）的极值点个数为0；
当F"（x）_min=1-a<0，即a>1时，（又x→-∞，F"（x） →+∞， x→+∞，F"（x） →+∞）F（x）的极值点个数为2个
（2）证明：

在[1，2]上单调递增
在x∈[1，2]上恒成立
令H（a）= -a-x=（-2≤a≤1），关于a是一次函数。
又H（-2）=2-x≥0，H（1）=e^x-1-x≥0，（由F"（x）=e^x-a-x≥1-a得）
所以G（x）= -a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立，所以，原命题成立。