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题目
题型:浙江省期中题难度:来源:
已知函数f(x)=ex,g(x)=1+ax+ ,a∈R
(1)设函数F(x)=f(x)-g(x),讨论F(x)的极值点的个数;
(2)若-2≤a≤1,求证:对任意的x1,x2∈[1,2],且x1<x2时,都有
答案
解:(1 ),F"(x)=ex-a-x,F""(x)=ex-1,
令F""(x)=0,得x=0
当x∈(-∞,0)时,F""(x)<0,从而F"(x)在(- ∞,0)上单调递减,
当x∈(0,+ ∞)时, F""(x)>0,从而F"(x)在(0,+ ∞)上单调递增,
所以F"(x)min=F"(x)=1-a,
当F"(x)min=1-a≥0,即a≤1时,F"(x) ≥0恒成立,F(x)的极值点个数为0;
当F"(x)min=1-a<0,即a>1时,(又x→-∞,F"(x) →+∞, x→+∞,F"(x) →+∞)F(x)的极值点个数为2个
(2)证明:

在[1,2]上单调递增
在x∈[1,2]上恒成立
令H(a)= -a-x=(-2≤a≤1),关于a是一次函数。
又H(-2)=2-x≥0,H(1)=ex-1-x≥0,(由F"(x)=ex-a-x≥1-a得)
所以G(x)= -a-x≥0在x∈[1,2]上恒成立,所以,原命题成立。
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex,g(x)=1+ax+ ,a∈R(1)设函数F(x)=f(x)-g(x),讨论F(x)的极值点的个数;(2)若-2≤a≤1,求证:对任意的】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当时,成立,(其中f′(x)是f(x)的导函数),若,则a,b,c的大小关系是[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:湖北省期中题难度:| 查看答案
已知函数.  
(1)若函数的图象在处的切线斜率为1,求实数a的值;  
(2)在(1)的条件下,求函数的单调区间;  
(3)若函数上是减函数,求实数a的取值范围.
题型:湖北省期中题难度:| 查看答案

给出定义在上的三个函数:,已知g(x)在x=1处取极值.
(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;
(Ⅱ)求证:当时,恒有成立;
(Ⅲ)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象,试确定函数的零点个数,并说明理由。

题型:福建省模拟题难度:| 查看答案
已知函数(a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(的导函数).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,的导函数),证明:
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
已知函数
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
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