题目
题型:不详难度:来源:
(1)若a=1,求f(x)的单调区间
(2)求f(x)的在[1,+∞)上的极值
(3)若a>0且关于x的方程f(x)=0在[-2,2]有三个不同的实数根,求a的取值范围.
答案
令f′(x)>0,得x<0,或x>2,令f′(x)<0,得0<x<2,
∴a=1时,f(x)的单调区间为(-∞,0),(0,2),(2,+∞)
(2)∵f(x)=x3-3ax2+a,∴f′(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),∵x≥1
①当a≤
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2 |
②当a>
1 |
2 |
∴f(x)的在[1,2a)上是减函数,在(2a,+∞)上是增函数,
∴f(x)的在[1,+∞)上有极小值为f(2a)=(2a)3-3a(2a)2+a=a-4a3,
(3))∵f(x)=x3-3ax2+a,∴f′(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),∵a>0
令f′(x)>0,得x<0,或x>2a,令f′(x)<0,得0<x<2a,
∴f(x)在(-∞,0)(2a,+∞)上是增函数,在(0,2a)上是减函数.
∴f(x)的极大值为f(0)=a,极小值为f(2a)=a-4a3,
①∵方程f(x)=0有三个不同的实数根,
∴f(0)=a>0,且f(2a)=a-4a3<0∴a>
1 |
2 |
②∵方程f(x)=0在[-2,2]有三个不同的实数根
∴2a<2,且
|
∴a<1,且-11a+8≥0,且-11a-8≤0,
∴-
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8 |
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由①②知,a的取值范围为
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核心考点
试题【设a为实数,函数f(x)=x3-3ax2+a(1)若a=1,求f(x)的单调区间(2)求f(x)的在[1,+∞)上的极值(3)若a>0且关于x的方程f(x)=0】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)如a=b=-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明:β-α<6.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)讨论f(x)的极值.
①已知a=
∫ | π0 |
3 |
3 |
②若f"(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值;
③m≥-1,则函数y=log
1 |
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④在极坐标系中,点P(2,
π |
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π |
6 |
其中真命题是______(把你认为正确的命题序号都填在横线上)
π |
2 |
A.f(x)=sinx+cosx | B.f(x)=lnx-2x |
C.f(x)=-x3+2x-1 | D.f(x)=-xe-x |
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