题目
题型:韶关三模难度:来源:
(Ⅰ)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;
(Ⅱ)求证:△ABC是钝角三角形;
(Ⅲ)试问△ABC能否是等腰三角形?若能,求△ABC面积的最大值;若不能,请说明理由.
答案
aex |
1+ex |
-(a+1)-ex |
1+ex |
所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数.(3分)
(Ⅱ)证明:据题意A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))且x1<x2<x3,
由(Ⅰ)知f(x1)>f(x2)>f(x3),x2=
x1+x3 |
2 |
可得A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))三点不共线
(反证法:否则2ex2=ex1+ex3≥2
ex1+x3 |
∴
BA |
BC |
∴
BA |
BC |
∵x1-x2<0,x3-x2>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x3)-f(x2)<0,∴
BA |
BC |
π |
2 |
即△ABC是钝角三角形(8分)
(Ⅲ)假设△ABC为等腰三角形,则只能是|
BA |
BC |
即:(x1-x2)2+[f(x1)-f(x2)]2=(x3-x2)2+[f(x3)-f(x2)]2∵x2-x1=x3-x2∴[f(x1)-f(x2)]2=[f(x3)-f(x2)]2
即2f(x2)=f(x1)+f(x3)⇔2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)⇔2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2⇔2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)⇔(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)⇔e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3⇔2ex2=ex1+ex3①(11分)
而事实上,ex1+ex3≥2
ex1+x3 |
由于ex1<ex3,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾.
所以△ABC不可能为等腰三角形.(13分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=aln(1+ex)-(a+1)x,(其中a>0),点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))从左到右依次是函数y】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数y=g(x)的解析式;
(2)若关于x的不等式
x-m |
g(x) |
x |
a |
b |
a |
b |
(1)写出函数f(x)的递减区间;
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值.(要列表求)
m |
n |
m |
n |
(Ⅰ)求k的值及F(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求实数a的取值范围.
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