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题目
题型:不详难度:来源:
设a为实常数,函数f(x)=-x3+ax2-4.
(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为
π
4
,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围.
答案
(1)f′(x)=-3x2+2ax.根据题意f′(1)=tan
π
4
=1,
∴-3+2a=1,即a=2.∴f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-
4
3
)

当f′(x)>0,得x(x-
4
3
)
<0,即0<x<
4
3
;当f′(x)<0,得x(x-
4
3
)
>0,即x<0或x>
4
3

∴f′(x)的单调递增区间是(0,
4
3
)
,单调递减区间是(-∞,0)∪(
4
3
,+∞)

(2)f′(x)=-3x(x-
2a
3
)

①若a≤0,当x>0时,f′(x)<0,从而f(x)在(0,+∞)上是减函数,
又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.
∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0;
②当a>0,则当0<x<
2a
3
时,f′(x)>0,当x>
2a
3
时,f′(x)<0.
从而f(x)在(0,
2a
3
)
上单调递增,在(
2a
3
,+∞)
上单调递减.
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f(
2a
3
)
=-
8a3
27
+
4a3
9
-4=
4a3
27
-4.
据题意,
4a3
27
-4>0,即a3>27,∴a>3.
故a的取值范围是(3,+∞).
核心考点
试题【设a为实常数,函数f(x)=-x3+ax2-4.(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为π4,求函数f(x)的单调区间;(2)若存】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax2-3x
(1)当a=2时,求f(x)的零点;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的[1,a]上的最小值和最大值;
(3)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0.则不等式f(


x+1
)>


x-1
f(


x2-1
)
的解集为______.
题型:盐城二模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3+ax2+b(a∈R,b∈R)
(Ⅰ)若 a>0,且f(x)的极大值为5,极小值1,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,-
1
2
)上是增函数,求a的取值范围.
题型:威海一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
mx3-(2+
m
2
)x2+4x+1,g(x)=mx+5
(Ⅰ)当m≥4时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)是否存在m<0,使得对任意的x1,x2∈[2,3]都有f(x1)-g(x2)≤1?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:黄冈模拟难度:| 查看答案
设x1,x2是函数f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x
(a>0)的两个极值点,且|x1|+|x2|=2.
(Ⅰ)证明:0<a≤1;
(Ⅱ)证明:|b|≤
4


3
9
题型:重庆二模难度:| 查看答案
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