已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且函数f（x）在区间[-1，0]和[4 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且函数f（x）在区间[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求c的值；
（2）求

的取值范围；
（3）求|AC|的最大值和最小值．

答案

（1）由条件可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，则3ax²+2bx=0，
解得x1=0，x2=-

．
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
得

≥2

≤4

解得-6≤

≤-3．
（3）设A（α，0），C（β，0），
则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
则

b=-a(2+α+β)

d=-2aαβ

，解得

α+β=-

-2

αβ=-

又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），
αβ=4+

从而|AC|=|α-β|=

(α+β)2-4αβ

(

-2)2-16

∵-6≤

≤-3
∴当

=-6时，|AC|_max=4

；当

=-3时，|AC|_min=3．

核心考点

试题【已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且函数f（x）在区间[-1，0]和[4】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数y=x-lnx的单调增区间是______．

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设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈[

-1，e-1]时，求f（x）的最大值．

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已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1，f（x）有极大值7；当x=3时，f（x）有极小值．
（Ⅰ）求a，b，c的值．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-ax²，求g（x）的单调区间．

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若函数f（x）=x³-mx²+2m²-5的单调递减区间为（-9，0），则m=______．

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已知函数f(x)=x3-

x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

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