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题目
题型:桂林模拟难度:来源:
已知函数f(x)=px-
p
x
-2lnx

(I)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围;
(Ⅲ)设函数g(x)=
2e
x
,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围.
答案
(I)当p=2时,函数f(x)=2x-
2
x
-2lnx
,f(1)=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+
2
x2
-
2
x

曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f"(1)=2+2-2=2.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1)
即y=2x-2.
(II)f′(x)=p+
p
x2
-
2
x
=
px2-2x+p
x2

令h(x)=px2-2x+p,
要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.
由题意p>0,h(x)=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=
1
p
∈(0,+∞)

h(x)min=p-
1
p
,只需p-
1
p
≥0

即p≥1时,h(x)≥0,f"(x)≥0
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞).
(III)∵g(x)=
2e
x
在[1,e]上是减函数,
∴x=e时,g(x)min=2;x=1时,g(x)max=2e,
即g(x)∈[2,2e],
1当p<02时,h(x)=px2-2x+p3,其图象为开口向下的抛物线,对称轴x=
1
p
4在y5轴的左侧,且h(0)<0,
所以f(x)在x∈[1,e]9内是减函数.
当p=0时,h(x)=-2x,因为x∈[1,e],所以h(x)<0,
f′(x)=-
2x
x2
<0
,此时,f(x)在x∈[1,e]内是减函数.
∴当p≤0时,f(x)在[1,e]上单调递减⇒f(x)max=f(1)=0<2,不合题意; (
当0<p<1时,由x∈[1,e]⇒x-
1
x
≥0
12,所以f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx≤x-
1
x
-2lnx

又由(2)知当p=1时,f(x)在[1,e]上是增函数,
x-
1
x
-2lnx≤e-
1
e
-2lne=e-
1
e
-2<2
,不合题意;
14当p≥115时,由(2)知f(x)16在[1,e]17上是增函数,f(1)=0<218,又g(x)19在[1,e]20上是减函数,
故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],而f(x)max=f(e)=p(e-
1
e
)-2lne
,g(x)min=2,即p(e-
1
e
)-2lne>2
,解得p>
4e
e2-1

综上所述,实数p的取值范围是(
4e
e2-1
,+∞)
核心考点
试题【已知函数f(x)=px-px-2lnx.(I)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数y=x3-ax+6的一个单调增区间为(1,+∞),求a的值及函数的其他单调区间.
题型:不详难度:| 查看答案
若函数f(x)=x3-ax2+2的一个极值点是2,则a=______,此函数在区间[-1,1]上的最大值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
kx+1
x2+c
(c>0且c≠1,k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c.
(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点;
(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m≥1时k的取值范围.
题型:陕西难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,
xf′(x)-f(x)
x2
>0
(x>0),则不等式f(x)>0的解集是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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