设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）是 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x³．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

答案

因为当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x³．
所以当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x³，
∴f(x)=

-2ax+4x3，-1≤x≤0

2ax-4x3，0＜x≤1.

（Ⅰ）由题设f（x）在（0，1]上为增函数，∴f"（x）≥0在x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x²≥0对x∈（0，1]恒成立，于是，a≥6x²，从而a≥（6x²）_max=6．
即a的取值范围是[6，+∞）
（Ⅱ）因f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值．
令f"（x）=2a-12x²=0，得x=

．…（8分）
若

∈（0，1]，即0＜a≤6，则[f(x)]max=f(

)=2a×

-4(

)3＜2a×

≤12，
故此时不存在符合题意的a；
若

＞1，即a＞6，则f（x）在（0，1]上为增函数，于是[f（x）]_max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．综上，存在a=8满足题设．…（12分）

核心考点

试题【设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）是】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=

x2-alnx（a∈R）．
（1）求函数f （x）的单调区间；
（2）求证：x＞1时，

x2+lnx＜

x3．

题型：不详难度：| 查看答案

（理）已知函数f(x)=x-

ax2-ln(1+x)，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f(x)=

x2-lnx．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若g(x)=-

x3+x2，证明当x＞1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f(x)=

ax2-(a+1)x+ln(x+1)
（Ⅰ）如果f（x）在区间（1，2）不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a＞0，设函数g（x）=f（x）+ax，求函数g（x）的极大值．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）试判断是否存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与直线y=1+ln

无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）．

题型：不详难度：| 查看答案

最新试题

热门考点