（理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，  x∈(-1，+∞)．
依题意，令f"（2）=0，解得 a=

1

3

．
经检验，a=

1

3

时，符合题意．…（4分）
（Ⅱ）①当a=0时，f′(x)=

x

x+1

．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f"（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．
当0＜a＜1时，f（x）与f"（x）的情况如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f"（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘
x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f"（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘
已知函数f(x)= 1 2 x2-lnx． （I）求f（x）的单调区间； （II）若g(x)=- 2 3 x3+x2，证明当x＞1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方．
已知函数f(x)= 1 2 ax2-(a+1)x+ln(x+1) （Ⅰ）如果f（x）在区间（1，2）不单调，求a的取值范围； （Ⅱ）如果a＞0，设函数g（x）=f（x）+ax，求函数g（x）的极大值．
已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）试判断是否存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与直线y=1+ln 2 无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）．
函数f(x)=2x- a x 的定义域为（0，1]（a＜0）， （1）若a=-1，求函数y=f（x）的值域； （2）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值和最小值，并求出函数取最值时相应x的值．
已知f（x）=ln（x+1）． （1）若g(x)= 1 4 x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值； （2）当x＞0时，求证 1 1+x ＜f( 1 x )＜ 1 x ； （3）当n∈N+且n≥2时，求证： 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 n+1 ＜f(n)＜1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ．